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主元分类法解高考数学压轴题《广东教育》2007

2015年04月01日 名师展示 ⁄ 共 1093字 ⁄ 字号 暂无评论 ⁄ 阅读 1,111 次

主元分类法解高考数学压轴题
申祺晶发表于广东教育《高中》2007.11

分类思想作为数学思想之一,是数学的重要思想,当含有参数时,对参数需要进行分类,如果有几个参数时,要确定一个主元进行分类,再进行第二次分类和第三次分类.中学数学中的判别式与0、绝对值的正负性、底数与1、角的象限、整数的奇偶性、斜率的存在性等问题,往往需要进行分类解答.本文以主元分类法对广东省2007年高考数学卷中的压轴题进行如下分析与解答.

例题(2007年广东卷) 已知a是实数,函数

f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.

分析 参数a是实数,解答过程中要对a进行分类;同时函数有零点,零点的个数也可以进行分类,二次函数判别式含有参数a,也要进行分类.因此,解答过程中有必要用一个主元分类.

解法1以a为主元进行分类如下:

1. 若 a=0,f(x)=2x-3,显然[-1,1]在上没有零点, 所以a≠0.

2. a≠0,对判别式含有参数a进行分类:

(1)令△=4+8a(3+a)=8a2+24a+4=0 ,

得 a = ,

①当a= 时,y=f(x)恰有一个零点在

[-1,1]上.

②当a= 时,没有零点.

(2)当△≠0 时,以零点进行分类:

① 当有一个零点时,有f(-1)f(1)<0, 即1<a<5.

② 当有两个零点时, 则f(-1)f(1)≥0,分类如下:

(i)a>0,△=8a2+24a+4>0,-1<- <1, f(1)≥0. f(-1)≥0.

(ii)a<0,△=8a2+24a+4>0,-1<- <1, f(1)≤0. f(-1)≤0.

解得a≥5或 .

综上可知,a的取值范围是a>1或a≤ .

解法2以零点为主元进行分类:

1.只有一个零点时,分类讨论如下:

(1)若a=0,f(x)=2x-3 ,显然在区间[-1,1]上没有零点, 所以a≠0.

(2)a≠0,当f(-1)f(1)≤0时, 1≤a≤5有零点.

2. 有两个零点时,a≠0,当f(-1)f(1)>0时,进行分类讨论如下:

(1)当f(-1)>0,f(1)>0时,a>5有零点.

(2)当f(-1)<0 , f(1)<0时 , a<1, 进行分类讨论如下:

①当0<a<1时,函数的两根不在区间[-1,1]上,即在区间上没有零点.

②当a<0时,当函数最大值大于0,函数的对称轴在区间[-1,1]上时有零点,此时a≤ .

综上可得,a的取值范围是a>1或 a≤.

点评 这是一道比较复杂的综合题,很多考生无法正确解答,其主要原因是他们不知道如何分类.因此,在解答此类问题时,要注意选择好主元,尤其是很多参数不确定时,只有确定好以某一个主元进行分类,才能找到解题的突破口.

责任编校 赖庆安
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