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数学的解题模式

2011年10月24日 数学指导 ⁄ 共 4817字 ⁄ 字号 暂无评论 ⁄ 阅读 1,823 次

《高中数学课程标准》中指出高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力,这是数学教育的基本目标之一.人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现,有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断.数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用.众所周知,中学生要提高数学思维能力的重要途径之一是解题,而教师要提高学生的数学思维能力就必须进行解题教学研究.笔者一直致力于数学解题教学研究,试图通过解题教学研究提高学生的数学思维能力.

一、中学解题教学的误区

经调查研究,中学数学解题教学存在若干误区:(1)长期徘徊在一招一式的归类,缺少观点上的提高或实质性的突破.有时候,只是解题方法的简单堆积或解题技巧的神秘出现,在解题具体操作与解题策略或数学思想方法之间缺少沟通的桥梁.(2)多是研究“怎样解”,较少问“为什么这样解”,更少问“怎样学会解”,重结果,轻过程.(3)更关注现成的、形式化问题的求解,对问题“提出”和“应用”研究不足.教学中的具体表现为:(1)概念课的教学不注重知识形成的背景和形成的过程,不注意引导学生搞清概念的来龙去脉,导致学生对概念理解还是“夹生饭”时,就被要求听老师的一招一式的例题教学,甚至被要求解大量的课外习题.学生整节课忙于抄录老师的笔记,没有任何思考的时间和空间,从而“听课”变成“抄课”,课后投入大量时间完成一知半解的习题.最后,学生学得很苦很累,但成绩毫无起色.出现这种情况,教师应该是“急于求成”了.其实,学生在对概念理解不透彻的情况下,解题时即使在“有用捕捉”的刺激下,也无法进行“有关提取”.(2)习题课的教学中,经常会出现老师上来就给出各种类型的习题,然后老师不加任何分析,有时学生甚至连题目中的条件是什么,结论是什么都没搞清楚,就被老师“牵着鼻子走”,似乎循着老师的思路,整个过程都“明白”了,而实际上什么都没学到.如果教学中存在这些问题,那么对提高学生数学思维能力是毫无意义的.笔者认为教师应该进行解题教学研究,通过学习解题学理论来指导学生解题,避免教与学误入“歧途”.

二、对数学解题的基本认识

2.1 数学题与数学解

中学生日常接触最多的是狭义上的数学题,这些数学题的标准形式包括两个基本要素:条件(已知,前提),结论(未知,求解,求证,求作).解题就是沟通条件与结论之间的联系,包括解和解题依据.如果把解题比做打仗,那么解题者的“兵力”就是数学基础知识,解题者的“兵器”就是数学基本方法,而调动数学基础知识、运用数学基本方法的数学解题学正是“兵法”.我们通常只注重“兵力”和“兵器”的积累,而忽视了对“兵法”的研究,导致在解题实战中平时积累的“兵力”和“兵器”都无用武之地,或者驾驭不好.

2.2 数学解题的信息过程

《数学解题学引论》中认为数学解题的信息过程包括这样一个“三位一体”的工作.

①有用捕捉.从理解题意中捕捉有用的信息,主要是弄清条件是什么?结论是什么?各有几个?如何建立条件与结论之间的逻辑联系?从题目的叙述中获取“符号信息”,从题目图形中获取“形象信息”.知识与经验是“有用捕捉”的基础.

②有关提取.即在“有用捕捉”的刺激下,通过联想而从记忆储存中提取有关的信息,主要有定理、公式、基本模式、解题经验等解题依据或解题凭借.良好的认知结构和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础.

③有效组合.将“有用捕捉”和“有关提取”两组信息进行有效组合,使之成为一个和谐的逻辑结构.逻辑思维能力是有效组合的基础,而“逻辑结构”是否有效,其基本要求应能说服自己、说服朋友、说服论敌.

这三个步骤往复循环,依信息的反馈而由大脑来调节.解题信息过程如图1所示:

例1:(2009广东高考题)已知向量互相垂直,其中,求的值.

从信息论的观点分析例1的解题过程,则是两个维度上相关信息的有效组合,即从理解题意中捕捉有用的信息,从记忆网络中提取有关的信息,并把这两组信息组成一个和谐的逻辑结构.

可见,数学解题的思维过程是一个“三位一体”的工作.

①有用捕捉.由图2可见,通过理解题意找出了3条信息,两条符号信息,一条文字信息(含图形信息).

②有关提取.由图2可见,在“有用捕捉”的刺激下,从记忆网络中检索出了3条信息:向量垂直的充要条件,公式,方程思想.解题者应该自始自终以“求两个未知数(),需要找两个关于的方程”的方程思想指导下,探索解题思路.

③有效组合.将上述两组信息资源,加工配置成一个和谐的逻辑结构.逻辑思维能力是有效组合的基础.在这里方程思想应该是进行有效组合的关键所在.

例1的分析充分暴露了解题者的思维过程,也正是解题教学中教师应该向学生充分展示的过程.因为例1的难度不大,所以即使教师照本宣科,学生也能理解,甚至还能“简单模仿”,但是很难让学生上升到“自发领悟”和“自觉分析”的层次,对提高学生解题能力起不了多大作用.

2.3 对解题方法与策略的认识

2.3.1 解题方法

这里说的解题方法,是指中学阶段用于解答数学题的方法.此处将其分为3类,分别为具有创立学科功能的方法,体现一般思维规律的方法,具体进行论证演算的方法.

①具有创立学科功能的方法.如公理化方法、模型化方法、结构化方法,以及集合论方法、极限方法、坐标方法、向量方法等.在具体解题中,具有统率全局的作用.

②体现一般思维规律的方法.如观察、试验、比较、分类、猜想、类比、联想、归纳、演绎、分析、综合等.在具体解题中,有通理通法、适应面广的特征,常用于解题思路的探求.

③具体进行论证演算的方法.这又可以依其适应面分为两个层次,第一层次是适应面较广的求解方法,如消元法、换元法、降次法、待定系数法、反证法、同一法、数学归纳法(及递推法)、坐标法、三角法、数形结合法、构造法、配方法等;第二层次是适应面较窄的求解技巧,如因式分解中的“裂项法”,函数作图中的“描点法”,以及三角函数作图中的“五点法”,几何证明中的“截长补短法”、“补形法”,数列求和中的“拆项相消法”等.

仅仅是不等式的证明,我们就可以列举出一长串的解法或技巧:比较法、放缩法、综合法、分析法、递推法、反证法、基本不等式法、叠加法、连乘法、数学归纳法、判别式法、求极值法、配方法、辅助函数法、构造法、微分法等,而微分法又可以有求极值、确定单调性、中值定理、凹凸性质等形式.

2.3.2 解题策略

注重解题策略的研究已经构成中国解题教学的一个特色,它可以看成是对波利亚现代启发性解题策略研究的继承与发展,徐利治教授提出的RMI原理是这方面工作的杰出代表.

(1)策略是指导行动的方针(战略性的),同时也是增强效果、提高效率的艺术,它区别于具体的途径或方式(战术性的).数学解题的策略是为了实现解题目标而采取的方针.解题策略的思维基础是逻辑思维、形象思维、直觉思维的共同作用,离开逻辑是不行的,单靠逻辑是不够的

文[5]提出了10个解题策略:模式识别、映射化归、差异分析、分合并用、进退互化、正反相辅、动静转化、数形结合、有效增设、以美启真;文[8]提出了8个解题策略:枚举法、模式识别、问题转化、中途点、以退求进、推进到一般、从整体看问题、正难则反;文[9]提出了10个解题策略:以简驭繁、进退互用、数形迁移、化生为熟、正难则反、倒顺相通、动静转换、分合相辅、引参求变、以美启真,并且认为数学思维策略的研究就是数学解题策略的研究;文[10]对解题策略进行了理论分析.

(2)解题策略介于具体的求解方法与抽象的解题思想之间,是思想转化为操作的桥梁,一方面它是用来具体指导解题的方法,另一方面它又是运用解题方法的方法、寻找解题方法的方法、创造解题方法的方法.

如果把解题策略理解为选择与组合的一系列规则,那么这些规则应该具有迅速找到较优解题操作的基本功能,能够减少尝试或失败的次数,能够节省探索的时间和缩短解题的长度,体现出选择的机智和组合的艺术.

三、一次解题教学的尝试

波利亚在“怎样解题表”中给出了一个宏观解题程序,分成4步:弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾.在每一步中都配有许多问句或提示,从而体现出模式识别、联系转化、特殊化与一般化、归纳、类比等思维策略的指导.

笔者根据玻利亚的“怎样解题表”进行了一次教学尝试.下面将教学的主要部分摘录如下:

3.1 设计意图

一部分学生反映,拿起数学题总感觉无从下手.在教学实践中,笔者发现学生在解题时有一些不良解题习惯,譬如:生搬硬套式的“套题”习惯,知其然不知其所以然的习惯,解题后无及时反思、总结、提升的习惯等,这对于发挥数学的教育功能,开发学生智力,提高分析问题、解决问题的能力是毫无用处的.

为了改变这些现状,笔者通过研读波丽亚的《怎样解题》和罗增儒的《数学解题学引论》,结合教学实践,形成了一些想法.本课以波丽亚的“怎样解题表”为指导,以函数的基本性质为载体,通过具体例题的分析,充分暴露解题的思维过程,教会学生怎样解题.

3.2 典例剖析

例1.如果二次函数在区间上是增函数,求的取值范围.

解题分析过程:

第一步:你必须理解题目.

理解题目

1.未知量是什么?已知量是什么?

2.这是一个什么问题?答:这是一个求范围的问题,求的范围.

3.已知条件是什么?

答:已知二次函数的解析式(一次项系数含参数).二次函数的一个增区间.

第二步:找出已知条件与未知量之间的联系.

最终你应得到一个解题方案.

拟订方案

以前做过或见过类似的题目吗?当时是怎样想的?

我们已经做过许多求二次函数单调区间的题目.

要求出未知结论,需要知道哪些条件?由已知条件能推出哪些有用的东西?

要求出的范围,需要求出参数的范围,需要构造关于的不等式.

由已知条件(二次函数的解析式)能求出二次函数图象的对称轴,能求出二次函数的单调区间D.

解这类问题通常有哪几种方法?可能哪种方法更方便?试一试如何?

想法1:先求出函数的单调增区间D,再由增区间D,构造关于的不等式.

想法2:二次函数的单调区间与二次函数图象的对称轴有关,通过数形结合,由对称轴与区间的相对位置构造关于的不等式.

第三步:执行解题方案.

执行方案

执行解题方案,检查每一个步骤.你能确保每个步骤是正确的吗?

解答过程(略).

第四步:检查已经得到的解答.回顾解题过程,积累知识与方法.

回顾与积累

你能检验这个结果吗?

通过做这道题,能给你带来什么启示?应用了哪些数学基础知识,基本方法,数学思想

这是一道“已知(含参)函数的单调区间,求参数的范围”的问题,属于求函数单调区间的逆向问题

知识点:二次函数的单调性,二次函数的图象,二次函数的对称轴.

方  法:构造法,配方法.

思  想:数形结合.

你能在别的什么题目中利用这种方法吗?

举一反三:函数在上单调递增,求的取值范围.

从教学反馈效果来看,听课教师认为教学方法新颖,充分暴露了解题的思维过程,真正解决了解题教学中的许多问题,起到了良好的示范作用.学生认为通过这节课解决了“拿起题无从下手”的问题,大部分同学觉得解数学题变得容易了,真正认识了数学解题,很大程度上解决了学生对数学题“畏难”的心理问题,提高了学习兴趣.

为了改变学生的思维习惯,解题教学中教师应多示范解题分析的过程,充分暴露解题的思维过程,同时也应要求学生尝试画出解题分析的图示,逐步养成良好的分析问题、解决问题的习惯.解题者每解一题都应重视用数学思想和方法来指导解题,避免盲目的生搬硬套.解完题后应注重归纳总结知识和方法,并不断将新学习的知识和方法纳入已有的知识网络,最终提升为数学思想.

从多年的教学实践来看,笔者认为数学解题可以有效提高学生的数学思维能力,教师通过解题的理论与实践的研究可以帮助学生提高数学思维能力,而数学思维能力的提高又能促进解题能力的提高,从而形成良性循环,学生就不怕学不好,老师也就不怕教不好了.

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