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高中数学解题思维的培养

2012年08月16日 数学指导 ⁄ 共 2910字 ⁄ 字号 暂无评论 ⁄ 阅读 1,763 次

高中数学解题思维的培养

学习数学在于解题,不仅善于解一些标准的题,而且善于解一些要求独立思考,思路合理,见解独到的和有发明创造的题。由于教师的很多工作是根据升学率或学生整体的考试成绩来给予评定,因此几乎所有的教师都乐于选择范例。然而数学的特征是:公式繁多,内容复杂,问题形式变化无穷。可是将这样的范例付诸教学时,教师却又往往选择只是给学生讲解和介绍题目的多种解法,而很少讲解产生多解的思维过程,而解题教学的重要内容和意义就是要揭示解题的中的数学思维。因而,有不少教师强调“类型归类”即把数学题分为十几类甚至几十类,分门别类地向学生讲述,他们教育学生遇到问题时对号入座,我认为这种方法固然有他一定的长处,但容易使学生思维僵化。
如何有效地主组织高中数学解题教学,是历年数学教学研究中最热门的课题。所以我们在教学的过程中不仅要求学生直接参与解题,更要求学生能参与解题的思维活动。解题活动是学生在数学学习中最具有独立性的创造性活动,它对发展学生的思维。培养学生的能力,促进学生良好品质结构方面具有中的的作用。总结我在高中数学教学过程中的心得,本文拟就谈谈以下两点。

1.对概念的掌握
“工欲善其事,必先利其器”。如果要达到培养学生的解题思维的目的,首先我们得让学生明白高中数学所有教学内容最基本的知识—概念。概念是思维的基本形式,具有确定研究对象和任务的作用。高中数学课程标准指出:教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握,对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解。
在数学中,一个首要的概念就是函数。以函数为例,函数的学习,标志着从常量数学学习开始进入变量数学学习。理解函数要求学生在思维中构建一个过程,来反映函数可能出现的一个情形(解析式、表格或图象表示),对定义域中每一个特定值都得到唯一一个函数值的这种动态变化过程。在教学的时候不要把概念的讲授看作是“名词”的解释而已。而中学生的年龄决定了很大部分学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期,思维水平基本上停留在形式逻辑思维的范畴,只能局部地、静止地、分隔地、抽象地认识所学的事物。学生函数概念的认知发展有三个阶段:作为“算式”的函数;作为“变化过程”的函数;作为“对应关系”的函数。贾王珠教授在《函数学习中的六个认知层次》一文指出,函数知识建构可分为6个层次,即经历认识变量;突出关系;区别函数与算式;掌握“对应”;把握形式化描述;形成函数对象等主要环节。这些都说明了学生对函数概念的学习理解,必然要贯穿于整个中学数学课程的学习活动之中,经历循序渐进的过程才可以。
通过对函数的概念这样一个最基本的内容进行说明讲解,掌握这样一个循序渐进的过程:老师首先解释说明,然后与现实生活当中的某一实际情况结合,比如所买商品与所付金额,邮件重量与邮资等等,让学生把数学与生活联系在一起,我们就能很轻松的把学生引入一个通过所学知识解决实际问题的境界。其间可以进行讨论调动学生的积极性。然后再转入到有些问题这样的概念不能很直观地解决所遇到的实际问题引入到函数的性质上来。通过启发性的提问:“这些概念和函数的性质是一种什么样的联系呢?”。这就必然会提高学生的辨证的思维能力,同时也能调动学生对数学的学习兴趣,摆脱枯燥冗长的讲解。

2.挖掘题目中的隐含条件
数学解题中最首要的问题是读懂题目,挖掘出隐含条件。所谓的隐含条件是指数学题目中那些若明若暗含而不露的已知条件,或者从题设中不断发现并利用条件进行推理和变形而重新发现的条件。
我们经常说某个数学题目对多数学生来说是一个难题,难在哪呢?很大程度难在隐含条件的深度与广度。一般来说,隐含条件通常隐蔽在数学定义与性质中;或者隐蔽在函数的定义域与值域之中;或者隐蔽在几何图形的特殊位置上;或者隐蔽在知识的相互联系之中。
因此,我们就要培养学生挖掘隐含条件的思维能力。把命题者所要告诉我们的潜在信息挖掘出来,清楚命题者的考察目的。为能够让学生挖掘出题目的隐含条件,培养学生这样的思维能力,在教学的过程中我们要培养学生做到以下几点:
(1)学会类比。解题不只是为了解某一道题而解题,仔细分析已知条件,从类比中挖掘隐含条件。从相似比较中挖掘隐含条件的实质是类比,是一种铺垫激活策略。如2006全国高考Ⅰ卷文科卷的第13题:已知函数f(x)=a-1/(2x+1),若f(x)为奇函数,则a=( 1/2 )。2006年山东高考理科卷的第6题:已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)=(0)。这样形式的题历年高考中都有所出现,那我们能不能这样想,同是奇函数,这两题之间都要考察哪些知识点呢?前一道考查的是奇函数的性质,后一道则明显告诉我们它有类似周期函数的性质。那我们有能否联想到函数的奇偶性、单调性、周期性等能解决什么样的问题呢,它们的异同点在哪呢?在这样的比较中培养出学生挖掘已知信息的思维能力。
(2)学会观察求证的结论。很多数学考试的求证都是放在综合题上的,因为这些题要求学生的推理及如何推理的能力比较高。万变不离其“中”,严谨地审视求证的结论,从推理中挖掘隐含条件,根据结论反推。例如2004年全国高考Ⅲ卷理科卷的19题:数列{an}的前n项和记为Sn,已知a=1,an+1=[(n+2)/n]×Sn (n=1,2,3,4……)求证(1)数列{ Sn/n}是等比数列.从结论我们知道{ Sn/n}一定是个等比数列,那它就具有等比数列的性质,那么q×Sn/n= Sn+1/(n+1),而题目已知an+1=[(n+2)/n]×Sn ,又由于an+1=Sn+1-Sn这样就能找到其解题的纽带。所以我们要让学生培养出从结论下手,观察结论解决问题。其实解题的实质就是消除或缩小当前状态与目标状态的差异,并运用数学知识与方法来缩小这种差异,直到问题解决。而让学生形成学会观察求证结论的思维,无疑又缩小了当前状态与目标状态的差异。
(3)学会从审视已知条件中展开联想。数学的语言不像语文那样富于修辞,它们是相当精炼的,没有多于的成分。这使得数学题每一句话都能读出相关的信息,在读完题后,如果单独、孤立地审视已知条件已经达到“山重水复疑无路”时,而从联系几个已知条件审视,从联系中挖掘隐含条件就可以出现“柳暗花明又一村”的新境界。培养学生的横向和纵向思维,展开联想,形成一种发散的思维方式。比如在很多时候我们会遇到这样的题,已知某一函数的表达式,然后根据已知条件求出在一定条件下的极值。可是,在解题的时候学生往往会忽视的部分是它们的定义域的取值范围。我们对函数的所有计算和推理都是在定义域的范围内进行,这样就把问题的解决缩小在某一特定的范围之内,从而减小其难度。
通过以上方式培养学生的数学思维能力,不断提高学生的解题能力,让其对数学这门课程带着思考去学习,避免出现打题海战术。如果不能培养学生的数学思维能力,用所学内容解决所遇到的问题,一味的最求量的多少,必然会使学生走入眼高手低这样的怪圈,达不到量到质的过渡。充分调动学生的主动性,带着问题去学习,用数学的思维方式去分析、考虑数学问题,不只为了解题而解题,这就是数学教学的一大目标。

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