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高中解析几何中求参数取值范围的方法

2012年11月25日 数学指导 ⁄ 共 1991字 ⁄ 字号 暂无评论 ⁄ 阅读 1,686 次

高中解析几何能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质,是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时,往往抓不住问题关键,无法有效地解答,这类问题求解的关键在于根据题意,构造相关的不等式,然后求出不等式的解。那么,如何构造不等式呢?武汉前程教育的 高中老师介绍几种常见的方法:

  一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.

例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)

求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.

解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1

又∵线段AB的垂直平分线方程为

y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )

令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2

又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点

∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

  二、利用判别式构造不等式

在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.

例2 设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )

A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]

分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0

解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)

由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0

∵直线L与抛物线有公共点

∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)

  三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式

曲线把坐标平面分成三个区域,若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系:若P在曲线上,则f(x0,y0)=0;若P在曲线内,则f(x0,y0)<0;若P在曲线外,则f(x0,y0)>0;可见,平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.

例3 已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点,求实数a的取值范围.

分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.

解:依题意可知,当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。

当A、B同时在椭圆内,则

解得a >17

当A、B同时在椭圆外,则

解得0<6< p>

综上所述,解得0<6 或a>17

  四、利用三角函数的有界性构造不等式

曲线的参数方程与三角函数有关,因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程,后利用三角函数的有界性构造不等式求解。

例4 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点,

求实数a的取值范围.

分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.

解:设椭圆的参数方程为 (θ为参数)

代入x2=2y 得

4cos2θ= 2(a+sinθ)

∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178

又∵-1≤sinθ≤1,∴-1≤a≤178

  五、利用离心率构造不等式

我们知道,椭圆离心率e∈(0,1),抛物线离心率e = 1,双曲线离心率e>1,因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.

例5 已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F,右准线为L,直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心,求实数k的取值范围.

分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率0<1,建立相关不等式关系求解.< p>

解:依题意得F的坐标为(2,0),L:x = 32

设椭圆中心为(m,0),则 m-2 =c和 m-32 = a2c

两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2

∵0<1,∴0<1,解得m>2,

又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上,

∴0 = km+3 ,即m = - 3k ,

∴- 3k >2,解得-32 <0< p>

上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法,希望通过以上的介绍,能让同学们了解这类问题的常用求法,并能认真体会、理解掌握,在以后的学习过程中能够灵活运用。

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